Définition :
Soient \(E_1,\ldots,E_p\) des espaces vectoriels et \(E=E_1\times\cdots\times E_p\)
Soit \(x\in E,x=(x_1,\ldots,x_p)\) avec \(x_i\in E_i\)
Soit \(f:E\to F\) une application
Si pour tout \(i\in\{1,\ldots,p\}\) fixé,
Pour tout \(x_j\in E_j\) (avec \(j\in\{1,\ldots,p\}\)) (variable muette)
Pour tout \(y_i\in E_i\),
Pour tout \(\lambda\in{\Bbb R}\) (ou \({\Bbb C}\)), on a : $$f(x_1,\ldots,x_{i}+\lambda y_{i},\ldots,x_p)=f(x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_p)+\lambda f(x_1,\ldots,x_{i-1},y_i,x_{i+1},\ldots,x_p)$$ alors on dit que \(f\) est une application \(p\)-linéaire
(Espace vectoriel, Produit scalaire, //Fonction linéaire - Application linéaire - Transformation linéaire - Linéarité)
Fonction antisymétrique - Fonction anti-symétrique
Forme bilinéaire - Bilinéarité
Si \(E_1={\Bbb R}^2\) et \(E_2={\Bbb R}^3\), $$E_1\times E_2=\left\{\left(\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\end{pmatrix},\begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3\end{pmatrix}\right)\;\middle|\;x,y\in{\Bbb R}\right\}\approx{\Bbb R}^5$$
\(f:{\Bbb R}^2\times{\Bbb R}^3\times{\Bbb R}^2\to{\Bbb R}^2\) $$f\left(\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\end{pmatrix},\begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3\end{pmatrix},\begin{pmatrix} z_1\\ z_2\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} 2x_1y_2z_2-3x_2y_2z_1+\sqrt2x_1y_2z_1\\ \sqrt2 x_2y_3z_2\end{pmatrix}$$
Si on fixe \(y\) et \(z\), $$f(x)=\begin{pmatrix} a_1+a_2x_1+a_3x_2\\ a_4x_2\end{pmatrix}\quad\text{ avec }\quad\begin{align} a_1&=2y_2z_2\\ a_2&=\sqrt2 y_1z_1\\ a_3&=-3y_2z_1\\ a_4&=\sqrt2y_3z_3\end{align}$$
\(f\) est \(3\)-linéaire